问题
解答题
已知函数f(x)=
（1）若函数f（x）有极值，且在x=1处的切线与直线x-y+1=0平行，求实数a的取值范围； （2）若y=f（x）在区间[-1，2]上是单调减函数，求a+b的最小值． |
答案
（1）∵f(x)=
x3+ax2-bx+1(x∈R，a，b为实数)1 3
∴f′（x）=x2+2ax-bx
∵f′（1）=1+2a-b=1即b=2a①
∵函数f（x）有极值
故方程x2+2ax-bx=0有两个不等实根
∴△=4a2+4b＞0即a2+b＞0②
由①②得a2+2a＞0解得a＜-2或a＞0
故a的取值范围为（-∞，-2）∪（0，+∞）
（2）∵y=f（x）在区间[-1，2]上是单调减函数
∴f′（x）=x2+2ax-bx≤0在区间[-1，2]上恒成立
∴f′（-1）≤0且f′（2）≤0即1-2a-b≤0 4+4a-b≤0
所以a+b的最小值为3 2