（1）设曲线y=f（x）与y=x²有共同切线的公共点为P（x₀，y₀），

则ekx0=

x

20

          ①，

又∵y=f（x）与y=x²在点P（x₀，y₀）处有共同切线，

且f′（x）=ke^kx，（x²）′=2x，

∴kekx0=2x0     ②，

由①②解得，k=±

2

e

．                   

（2）由f（x）=e^kx得，函数h（x）=（x²-2kx-2）e^kx，

∴（h（x））′=[kx²+（2-2k²）x-4k]e^kx

=k[x2+(

2

k

-2k)x-4]ekx=k(x-2k)(x+

2

k

)ekx．              

又由区间(k，

1

k

)知，

1

k

＞k，

解得0＜k＜1，或k＜-1．             

①当0＜k＜1时，

由（h（x））'=k(x-2k)(x+

2

k

)ekx＜0，得-

2

k

＜x＜2k，

即函数h（x）的单调减区间为(-

2

k

，2k)，

要使h（x）=f（x）（x²-2kx-2）在区间(k，

1

k

)内单调递减，

则有

0＜k＜1 k≥- 2 k 1 k ≤2k

，解得

2

2

≤k＜1．                                 

②当k＜-1时，

由（h（x））'=k(x-2k)(x+

2

k

)ekx＜0，得x＜2k或x＞-

2

k

，

即函数h（x）的单调减区间为（-∞，2k）和(-

2

k

，+∞)，

要使h（x）=f（x）（x²-2kx-2）在区间(k，

1

k

)内单调递减，

则有

k＜-1 1 k ≤2k

，或

k＜-1 k≥- 2 k

，

这两个不等式组均无解．

综上，当

2

2

≤k＜1时，

函数h（x）=f（x）（x²-2kx-2）在区间(k，

1

k

)内单调递减．