（1）由题意，f′（x）=1-

1

x+a

∵函数f（x）=x-ln（x+a）在（-a，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增

∴f′（1）=0

∴a=0；

（2）证明：∵m＞n＞0，∴要证明lnm-lnn＜

m+n

n

，只需要证明ln

m

n

＜

m

n

-1

只需要证明lnx＜x-1，x＞1

记g（x）=lnx-x=-f（x）

∴g（x）在（1，+∞）上单调递减

∴g（x）＜g（1）=-1，即lnx-x＜-1

∴lnm-lnn＜

m+n

n

；

（3）∵f（x）+2x=x²+λ，f（x）=x-lnx

∴原方程可化为x²-3x+lnx+λ=0，x∈[

1

2

，2]

记h（x）=x²-3x+lnx+λ，x∈[

1

2

，2]

则h′(x)=

(x-1)(2x-1)

x

∴x∈(

1

2

，1)时，h′（x）＜0，x∈（1，2）时，h′（x）＞0，

∵h(

1

2

)=-

5

4

-ln2+λ，h（2）=-2+ln2+λ，h（1）=-2+λ，h(2)-h(

1

2

)=-

3

4

+ln4＞0

∴h(1)＜h(

1

2

)＜h(2)

∴

h( 1 2 )≥0 h(1)＜0

∴

- 5 4 -ln2+λ≥0 -2+λ＜0

∴

5

4

+ln2≤λ＜2．