问题
解答题
| 已知函数f（x）=lnx-a（x-1），（a＞0） （1）求函数f（x）的单调区间和极值； （2）若函数f（x）在（1，+∞）是单调减函数，求实数a的取值范围； （3）在（2）的条件下，当n∈N+时，证明：（1+
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答案
（1）f（x）定义域为（0，+∞）…（1分）
求导数，得f′ (x)=
-a=1 x
…（2分）1-ax x
令f’ (x)=0，x1=0，x2=1 a
当0＜x＜
时，f′（x）＞0；当x＞1 a
时，f′（x）＜0…（3分）1 a
∴f（x）的单调增区间为(0，
)，f（x）的单调减区间为(1 a
，+∞)，…（4分）1 a
因此，f（x）的极大值为f(
)=-lna-1+a，无极小值…（5分）1 a
（2）∵函数f（x）在（1，+∞）是单调减函数，
∴f′ (x)=
-a≤0在区间（1，+∞）上恒成立．（7分）1 x
∵x＞1，可得0＜
＜11 x
∴a≥1，即实数a的取值范围为[1，+∞）…（9分）
（3）由（2）得当a=1时，f（x）在（1，+∞）上单调递减，
，可得∴f(x)=lnx-(x-1)＜f(1)=0
…（10分）lnx＜x-1，(x＞1)
令x=1+
，可得ln（1+1 2n
）＜1 2n
…（11分）1 2n
分别取n=1，2，3，…，n得
ln（1+
）+ln（1+1 2
）+ln（1+1 22
）+…+ln（1+1 23
）＜1 2n
+1 2
+1 22
+…+1 23
=1-1 2n
＜1…（13分）1 2n
即ln[（1+
）（1+1 2
）（1+1 22
）…（1+1 23
）]＜lne1 2n
可得（1+
）（1+1 2
+）（1+1 22
）…（1+1 23
）＜e，对任意的n∈N*成立．1 2n