（1）f（x）定义域为（0，+∞）…（1分）

求导数，得f′ (x)=

1

x

-a=

1-ax

x

…（2分）

令f’ (x)=0，x1=0，x2=

1

a

当0＜x＜

1

a

时，f′（x）＞0；当x＞

1

a

时，f′（x）＜0…（3分）

∴f（x）的单调增区间为(0，

1

a

)，f（x）的单调减区间为(

1

a

，+∞)，…（4分）

因此，f（x）的极大值为f(

1

a

)=-lna-1+a，无极小值…（5分）

（2）∵函数f（x）在（1，+∞）是单调减函数，

∴f′ (x)=

1

x

-a≤0在区间（1，+∞）上恒成立．（7分）

∵x＞1，可得0＜

1

x

＜1

∴a≥1，即实数a的取值范围为[1，+∞）…（9分）

（3）由（2）得当a=1时，f（x）在（1，+∞）上单调递减，

∴f(x)=lnx-(x-1)＜f(1)=0

，可得

lnx＜x-1，(x＞1)

…（10分）

令x=1+

1

2n

，可得ln（1+

1

2n

）＜

1

2n

…（11分）

分别取n=1，2，3，…，n得

ln（1+

1

2

）+ln（1+

1

22

）+ln（1+

1

23

）+…+ln（1+

1

2n

）＜

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=1-

1

2n

＜1…（13分）

即ln[（1+

1

2

）（1+

1

22

）（1+

1

23

）…（1+

1

2n

）]＜lne

可得（1+

1

2

）（1+

1

22

+）（1+

1

23

）…（1+

1

2n

）＜e，对任意的n∈N^*成立．