问题
解答题
已知抛物线y=-x2+2mx-m2+2的顶点A在第一象限，过点A作AB⊥y轴于点B，C是线段AB上一点（不与点A、B重合），过点C作CD⊥x轴于点D并交抛物线于点P。
（1）若点C（1，a）是线段AB的中点，求点P的坐标；
（2）若直线AP交y轴的正半轴于点E，且AC=CP，求△OEP的面积S的取值范围。
答案
解：（1）依题意得顶点A的坐标为（2，a），
设P（1，n）据x=-
，得A点的横坐标为m，即m=2，
所以y=x2+4x-2，把P点的坐标代入得n=1，
即P点的坐标为（1，1）；
（2）把抛物线化为顶点式：y=-（x-m）2+2，
可知A（m，2），
设C（n，2），
把n代入y=-（x-m）2+2得y=-（n-m）2+2，
所以P（n，-（n-m）2+2）
∵AC=CP
∴m-n=2+（m-n）2-2，
即m-n=（m-n）2，
∴m-n=0或m-n=1，
又∵C点不与端点A、B重合
∴m≠n，
即m-n=1，
则A（m，2），P（m-1，1）
由AC=CP可得BE=AB
∵OB=2
∴OE=2-m，
∴△OPE的面积S=
（2-m）（m-1）=-（m-
）2+
（1＜m＜2），
∴0＜S＜
。
