已知函数f(x)=13ax3-12x2-2ax+b(a，b∈R)（1）试求函数f

问题解答题

已知函数f(x)=

ax3-

x2-2ax+b(a，b∈R)
（1）试求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）在x=2处有极值，且f（x）图象与直线y=4x有三个公共点，求b的取值范围．

答案

（1）f'（x）=ax²-x-2a

当a=0时，f'（x）=-x＞0⇒x＜0

当a≠0时，△=1+8a²＞0，方程f'（x）=0有不相等的两根为x1，x2=

1±

1+8a2

1°当a＞0时，f′(x)＞0⇒x＜

1+8a2

或x＞

1+8a2

2°当a＜0时，f′(x)＞0⇒

1+8a2

＜x＜

1+8a2

综上：当a=0时，f（x）在（-∞，0）上递增

当a＞0时，f（x）在(-∞，

1+8a2

)，(

1+8a2

，+∞)上递增

当a＜0时，f（x）在(

1+8a2

，

1+8a2

)上递增

（2）∵f（x）在x=2处有极值，∴f'（2）=0，∴a=1

令g(x)=f(x)-4x=

x3-

x2-6x+b

∴g'（x）=x²-x-6=0⇒x=-2或3g'（x）＞0⇒x＜-2或x＞3g'（x）＜0⇒-2＜x＜3

∴g（x）在x=-2处有极大值，在x=3处有极小值

要使f（x）图象与y=4x有三个公共点

则

g(-2)＞0

g(3)＜0

⇔-

＜b＜

，即b的取值范围为(-

，

)