问题 解答题
已知函数f(x)=
1
3
ax3-
1
2
x2-2ax+b(a,b∈R)

(1)试求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若函数f(x)在x=2处有极值,且f(x)图象与直线y=4x有三个公共点,求b的取值范围.
答案

(1)f'(x)=ax2-x-2a

当a=0时,f'(x)=-x>0⇒x<0

当a≠0时,△=1+8a2>0,方程f'(x)=0有不相等的两根为x1x2=

1+8a2
2a

1°当a>0时,f′(x)>0⇒x<

1-
1+8a2
2a
x>
1+
1+8a2
2a

2°当a<0时,f′(x)>0⇒

1+
1+8a2
2a
<x<
1-
1+8a2
2a

综上:当a=0时,f(x)在(-∞,0)上递增

当a>0时,f(x)在(-∞,

1-
1+8a2
2a
),(
1+
1+8a2
2a
,+∞)
上递增

当a<0时,f(x)在(

1+
1+8a2
2a
1-
1+8a2
2a
)上递增

(2)∵f(x)在x=2处有极值,∴f'(2)=0,∴a=1

g(x)=f(x)-4x=

1
3
x3-
1
2
x2-6x+b

∴g'(x)=x2-x-6=0⇒x=-2或3g'(x)>0⇒x<-2或x>3g'(x)<0⇒-2<x<3

∴g(x)在x=-2处有极大值,在x=3处有极小值

要使f(x)图象与y=4x有三个公共点

g(-2)>0
g(3)<0
⇔-
22
3
<b<
27
2
,即b的取值范围为(-
22
3
27
2
)

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