(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=a+-
由题意得 | f′(2)=a+-=0 | f(2)=2a-+b-(a+1)ln2=0 |
| |
,
∴a=,b=ln2-.
经检验符合题意.
(Ⅱ)f′(x)=+-==,当x∈[e,e2]时,f'(x)>0,
所以f(x)在[e,e2]上单调递增,所以f(x)min=f(e)=-+ln2-2,
g′(x)=-,当x∈[e,e2]时,g'(x)<0,g(x)在[e,e2]上单调递减,所以 g(x)max=g(e)=-2.
因为f(x)min-g(x)max=ln2->0,
所以对任意x1,x2∈[e,e2],总有f(x1)>g(x2).
(Ⅲ)f′(x)==.
(1)当a=0时,由f'(x)>0得,0<x<1;
(2)当a<0时,由f'(x)>0得,0<x<1;
(3)当a>0时,
(ⅰ)若0<a<1,由f'(x)>0得,0<x<1或x>;
(ⅱ)若a=1,则f'(x)≥0恒成立,(在(0,1)和(1,+∞)上f'(x)>0,f′(1)=0),得x>0;
(ⅲ)若a>1,由f'(x)>0得,0<x<或x>1.
综上所述,当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,1);
当0<a<1时,函数f(x)的单调递增区间为(0,1)和(,+∞);
当a=1时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞);
当a>1时,函数f(x)的单调递增区间为(0,)和(1,+∞).