（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=a+

1

x2

-

a+1

x

由题意得

f′(2)=a+ 1 4 - a+1 2 =0 f(2)=2a- 1 2 +b-(a+1)ln2=0

，

∴a=

1

2

，b=

3

2

ln2-

1

2

．

经检验符合题意．

（Ⅱ）f′(x)=

1

2

+

1

x2

-

3

2x

=

x2-3x+2

2x2

=

(x-2)(x-1)

2x2

，当x∈[e，e²]时，f'（x）＞0，

所以f（x）在[e，e²]上单调递增，所以f(x)min=f(e)=

e

2

-

1

e

+

3

2

ln2-2，

g′(x)=-

2

e

，当x∈[e，e²]时，g'（x）＜0，g（x）在[e，e²]上单调递减，所以     g(x)max=g(e)=

e

2

-2．

因为f(x)min-g(x)max=

3

2

ln2-

1

e

＞0，

所以对任意x1，x2∈[e，e2]，总有f（x₁）＞g（x₂）．

（Ⅲ）f′(x)=

ax2-(a+1)x+1

x2

=

(ax-1)(x-1)

x2

．

（1）当a=0时，由f'（x）＞0得，0＜x＜1；

（2）当a＜0时，由f'（x）＞0得，0＜x＜1；

（3）当a＞0时，

（ⅰ）若0＜a＜1，由f'（x）＞0得，0＜x＜1或x＞

1

a

；

（ⅱ）若a=1，则f'（x）≥0恒成立，（在（0，1）和（1，+∞）上f'（x）＞0，f′（1）=0），得x＞0；

（ⅲ）若a＞1，由f'（x）＞0得，0＜x＜

1

a

或x＞1．

综上所述，当a≤0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，1）；

当0＜a＜1时，函数f（x）的单调递增区间为（0，1）和(

1

a

，+∞)；

当a=1时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）；

当a＞1时，函数f（x）的单调递增区间为(0，

1

a

)和（1，+∞）．