（Ⅰ）f′(x)=

1

x+1

-m

∵x＞0时，0＜

1

x+1

＜1

∴m≤0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增

∴m≥1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减

∴m的取值范围为（-∞，0]∪[1，+∞）单调函数；

（Ⅱ）①当m≤0时，f'（x）＞0，f（x）为定义域上的增函数，

∴f（x）没有极值；

②当m＞0时，由f'（x）＞0得-1＜x＜

1

m

-1；

由f'（x）＜0得x＞

1

m

-1∴f(x)在(-1，

1

m

-1)上单调递增，(

1

m

-1，+∞)上单调递减．

故当x=

1

m

-1时，f（x）有极大值f(

1

m

-1)=m-1-lnm，但无极小值．

（Ⅲ）由（Ⅰ）知m=1时，f（x）在（0，+∞）上单调递减

∴f（x）＜f（0），即ln（1+x）＜x（x＞0），

令x=

1

k+1

，得ln(1+

1

k+1

)＜

1

k+1

所以

1

n+1

+

1

n+2

++

1

n+(n+1)

＞ln

n+2

n+1

+ln

n+3

n+2

++ln

2n+2

2n+1

=ln

2n+2

n+1

=ln2．

所以a_n＞ln2．