问题
解答题
在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为E。
（Ⅰ）若b=2，c=3，求此时抛物线顶点E的坐标；
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足S△BCE=S△ABC，求此时直线BC的解析式；
（Ⅲ）将（Ⅰ）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足S△BCE=2S△AOC，且顶点E恰好落在直线y=-4x+3上，求此时抛物线的解析式。
答案
解：（Ⅰ）当
时，抛物线的解析式为
，
即
，
∴ 抛物线顶点的坐标为（1，4）；
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的抛物线向下平移，则顶点E在对称轴x=1上，有b=2，
∴抛物线的解析式为
（c>0），
∴此时，抛物线与y轴的交点为
，顶点为
，
∵方程
的两个根为
，
，
∴此时，抛物线与x轴的交点为
，
如图，过点作EF∥CB与x轴交于点F，连接CF，则S△BCE=S△BCF，
∵S△BCE = S△ABC，
∴S△BCF=S△ABC，
∴
，
设对称轴x=1与x轴交于点D，则
，
由EF∥CB，得
，
∴Rt△EDF∽Rt△COB，
有
，
∴
，
结合题意，解得
，
∴点
，
设直线BC的解析式为
，则
解得
∴直线的解析式为
；
（Ⅲ）根据题意，设抛物线的顶点为
，
则抛物线的解析式为
，
此时，抛物线与y轴的交点为
，与x轴的交点为
，
过点E作EF∥CB与x轴交于点F，连接CF，
则S△BCE=S△BCF，
由S△BCE=2S△AOC，
∴S△BCF=2S△AOC，
得
，
设该抛物线的对称轴与x轴交于点D，
则
，
于是，由Rt△EDF∽Rt△COB，有
，
∴
，
即
，
结合题意，解得
，①
∵点
在直线
上，有
，②
∴由①②，结合题意，解得
，
有
，
∴抛物线的解析式为
。
选择题