已知函数f（x）=x+
（I）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值； （Ⅱ）若对任意的x1∈[1，e]，都存在x2∈[1，e]（其中为e自然对数的底数）使得f（x1）＜g（x2）成立，求实数a的取值范围． |
（Ⅰ）∵h(x)=2x+
+lnx，其定义域为（0，+∞），…（1分）a2 x
∴h′(x)=2-
+a2 x2
，1 x
…（2分）x∈(0，+∞)
∵x=1是函数h（x）的极值点，
∴h'（1）=0，即3-a2=0
∵a＞0，∴a=
． …（4分）3
经检验当a=
时，x=1是函数h（x）的极值点，3
∴a=
…（5分）3
（Ⅱ）对任意的x1∈[1，e]，都存在x2∈[1，e]使得f（x1）＜g（x2）
成立等价于f（x）max＜g（x）max…（6分）
当x∈[1，e]时，g′(x)=1+
＞0，1 x
∴函数g（x）=x+lnx在[1，e]上是增函数，
∴g（x）max=g（e）=e+1…（7分）
f′(x)=1-
=a2 x2
，x∈[1，e]，a＞0(x+a)(x-a) x2
①当0＜a≤1时，x∈[1，e]，f′(x)=
≥0，(x+a)(x-a) x2
∴函数f(x)=x+
在[1，e]上是增函数，a2 x
∴f(x)max=f(e)=e+
e+a2 e
＜e+1a2 e
即f（x）max＜g（x）max恒成立，满足题意； …（9分）
②当1＜a＜e时，若1≤x＜a，则f′(x)=
＜0，(x+a)(x-a) x2
若a＜x≤e，则f′(x)=
＞0(x+a)(x-a) x2
∴函数f(x)=x+
在[1，a）上是减函数，在（a，e]上是增函数，a2 x
而f（1）=1+a2，f(e)=e+a2 e
a）f（1）＜f（e）即1＜a＜
时，e
f(x)max=f(e)=e+
，e+a2 e
＜e+1a2 e
即f（x）max＜g（x）max恒成立；
b）f（1）≥f（e）即
≤a≤e时，e
f（x）max=f（1）=1+a2
此时，f（x）max≥g（x）max，不合题意； …（12分）
③当a≥e时，x∈[1，e]，f′(x)=
≤0，(x+a)(x-a) x2
∴函数f(x)=x+
在[1，e]上是减函数，a2 x
∴f（x）max=f（1）=1+a2
此时，f（x）max＞g（x）max，不合题意； …（13分）
综上知，a的取值范围为(0，
)． …（14分）e
