解：（1）分两种情况讨论：

①当m=0 时，方程为x-2=0，

∴x=2 方程有实数根；

②当m≠0时，则一元二次方程的根的判别式

△=[-（3m-1）]²-4m（2m-2）=m²+2m+1=（m+1）²≥0

不论m为何实数，△≥0成立，

∴方程恒有实数根综合①②，可知m取任何实数，方程mx²-（3m-1）x+2m-2=0恒有实数根；

（2）设x₁，x₂为抛物线y= mx²-（3m-1）x+2m-2与x轴交点的横坐标，

则有x₁+x₂=，x₁·x₂=

由| x₁-x₂|====，

由| x₁-x₂|=2得=2，

∴=2或=-2

∴m=1或m=

∴所求抛物线的解析式为：y₁=x²-2x或y₂=-x²+2x-

即y₁= x（x-2）或y₂=-（x-2）（x-4）

其图象如右图所示；

（3）在（2）的条件下，直线y=x+b与抛物线y₁，y₂组成的图象只有两个交点，结合图象，求b的取值范围，

当y₁=y时，得x²-3x-b=0，△=9+4b=0，解得b=-；

同理，可得△=9-4（8+3b）=0，得b=-，

观察函数图象可知当b<-或b>-时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点，

由

当y₁=y₂时，有x=2或x=1

当x=1时，y=-1，

所以过两抛物线交点（1，-1），（2，0）的直线y=x-2，

综上所述可知：当b<-或b>-或b=-2时，直线y=x+b与（2）中的图象只有两个交点。