问题
解答题
设函数f（x）=x3+mx2+nx+p在（-∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f（x）=0有三个实根x1，2，x2．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）试比较f（1）与2的大小，并说明理由；
（Ⅲ）求|x1-x2|的取值范围．
答案
（Ⅰ）f′（x）=3x2+2mx+n．
∵f（x）在（-∞，0]上是增函数，在[0，2]上是减函数
∴当x=0时，f（x）取到极大值．
∴f′（0）=0．
∴n=0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=x3+mx2+p
∵f（2）=0
∴p=-4（m+2）
f′（x）=3x2+2mx=0的两个根分别为x1=0，x2=-2m 3
∵函数f（x）在[0，2]上是减函数，
∴x2=-
≥22m 3
∴m≤-3．
∴f（1）=m+p+1=m-4（m+2）+1=-7-3m≥2．
（Ⅲ）由条件可得：f（x）=（x-x1）（x-2）（x-x2）
∴f（x）=x3-（2+x1+x2）x2+（2x1+2x2+x1x2）x-2x1x2．
∴
，即-(2+x1+x2)=m -2x1x2=p
，x1+x2=-m-2 x1x2=-
p=2m+41 2
∴|x1-x2|=
=(x1+x2)2-4x1x2
=m2-4m-12
（m≤-3），(m-2)2-16
∴|x1-x2|≥3．