（1）∵y^′=lnx-1

令y^′＞0，则x＞e

∴函数y=xg（x）-2x的单调增区间为（e，+∞）

（2）当a=0时，f（x）=2x在[1，+∞）上是增函数，

当a＞0时，y=f（x）的对称轴方程为x=-

2

a

由于y=f（x）在[1，+∞）上是增函数，

∴-

2

a

≤1，解得a≤-2或a＞0，∴a＞0

当a＜0时，不符合题意，

综上，a的取值范围为a≥0

（3）方程

g(x)

x

=f′（x）-（2a+1）可化简为

lnx

x

=ax+2-（2a+1）

即为方程ax²+（1-2a）x-lnx=0．

设H（x）=ax²+（1-2a）x-lnx，（x＞0）

原方程在区间（

1

e

，e）内有且只有两个不相等的实数根，即函数H（x）在区间（

1

e

，e）内有且只有两个零点．

H^′（x）=2ax+（1-2a）-

1

x

=

2ax2+(1-2a)x-1

x

=

(2a+1) (x-1)

x

令H^′（x）=0，因为a＞0，解得x=1或x=-

1

2a

（舍）

当x∈（0，1）时，H^′（x）＜0，H（x）是减函数；

当x∈（1，+∞）时，H^′（x）＞0，，H（x）是增函数．，

H（x）在（

1

e

，e）内有且只有两个不相等的零点，只需

 

H( 1 e )＞ 0 H(x)min＜0 H(e)＞0

即1＜a＜

e2+e

2e-1