问题
解答题
已知α∈R且α＜0，设函数f（x）=ax2+x-3alnx．
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=-1时，证明：f（x）≤2x-2．
答案
（I）由f（x）=ax2+x-3alnx，得f′(x)=2ax+1-
=3a x
（x＞0）．2ax2+x-3a x
令f′（x）=0解得x1=
，x2=-1- 1+24a2 4a
（舍）．-1+ 1+24a2 4a
列表如下：
| x | （0，x1） | x1 | （x1，+∞） |
| f′（x） | + | 0 | - |
| f（x） | 增函数 | 减函数 |
-1-
| ||
| 4a |
-1-
| ||
| 4a |
（II）证明：f（x）的定义域为（0，+∞），a=-1时，f（x）=x-x2+3lnx
设g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x2+3lnx．
则g′(x)=-1-2x+
=-3 x
．(x-1)(2x+3) x
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0．
所以，g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
而g（1）=0，故当x＞0时，g（x）≤0．
即f（x）≤2x-2．