问题 解答题
已知函数f(x)是在(0,+∞)上每一点处可导的函数,若xf′(x)>f(x)在(0,+∞)上恒成立.
(Ⅰ)求证:函数g(x)=
f(x)
x
在(0,+∞)上单调递增;
(Ⅱ)当x1>0,x2>0时,证明:f(x1)+f(x2)<f(x1+x2);
(Ⅲ)已知不等式ln(1+x)<x在x>-1且x≠0时恒成立,证明:
1
22
ln22+
1
32
ln32+
1
42
ln42+…+
1
(n+1)2
ln(n+1)2
n
2(n+1)(n+2)
(n∈N+).
答案

证明:(Ⅰ)∵g(x)=

f(x)
x
,∴g′(x)=
f′(x)•x-f(x)
x2

∵xf′(x)>f(x),∴g′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,

从而有g(x)=

f(x)
x
在(0,+∞)上单调递增;

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,x1>0,x2>0时,有

f(x1+x2)
x1+x2
f(x1)
x1
f(x1+x2)
x1+x2
f(x2)
x2

于是有:f(x1)<

x1
x1+x2
f(x1+x2),f(x2)<
x2
x1+x2
f(x1+x2),

两式相加得:f(x1)+f(x2)<f(x1+x2);

(Ⅲ)由于

1
(n+1)2
ln(n+1)2=-
1
(n+1)2
ln
1
(n+1)2
,设f(x)=xlnx,则xf′(x)>f(x)在(0,+∞)上恒成立.

由(Ⅱ)可知:f(x1)+f(x2)<f(x1+x2),(x1>0,x2>0)恒成立

由数学归纳法可知:xi>0(i=1,2,3,…,n)时,有:f(x1)+f(x2)+f(x3)+…+f(xn)<f(x1+x2+x3+…xn)(n≥2)恒成立

xi>0(i=1,2,3,…,n)时,x1lnx1+x2lnx2+…+xnlnxn<(x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+…+xn)(n≥2)(*)恒成立

令xn=

1
(n+1)2
,记Sn=x1+x2+…xn=
1
22
+
1
32
+…+
1
(n+1)2

∴Sn

1
1•2
+
1
2•3
+…+
1
n(n+1)
=1-
1
n+1

又Sn

1
2•3
+…+
1
(n+1)(n+2)
=
1
2
-
1
n+2
,且ln(x+1)<x

∴(x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+…+xn)<(x1+x2+…+xn)ln(1-

1
n+1
)<-
1
n+1
(x1+x2+…+xn)<-
1
n+1
1
2
-
1
n+2
)=-
n
2(n+1)(n+2)
  (**)

将(**)代入(*)中,可知-[

1
22
ln22+
1
32
ln32+
1
42
ln42+…+
1
(n+1)2
ln(n+1)2]<-
n
2(n+1)(n+2)

1
22
ln22+
1
32
ln32+
1
42
ln42+…+
1
(n+1)2
ln(n+1)2
n
2(n+1)(n+2)

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