证明:(Ⅰ)∵g(x)=,∴g′(x)=
∵xf′(x)>f(x),∴g′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
从而有g(x)=在(0,+∞)上单调递增;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,x1>0,x2>0时,有>,>,
于是有:f(x1)<f(x1+x2),f(x2)<f(x1+x2),
两式相加得:f(x1)+f(x2)<f(x1+x2);
(Ⅲ)由于ln(n+1)2=-ln,设f(x)=xlnx,则xf′(x)>f(x)在(0,+∞)上恒成立.
由(Ⅱ)可知:f(x1)+f(x2)<f(x1+x2),(x1>0,x2>0)恒成立
由数学归纳法可知:xi>0(i=1,2,3,…,n)时,有:f(x1)+f(x2)+f(x3)+…+f(xn)<f(x1+x2+x3+…xn)(n≥2)恒成立
xi>0(i=1,2,3,…,n)时,x1lnx1+x2lnx2+…+xnlnxn<(x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+…+xn)(n≥2)(*)恒成立
令xn=,记Sn=x1+x2+…xn=++…+
∴Sn<++…+=1-,
又Sn>+…+=-,且ln(x+1)<x
∴(x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+…+xn)<(x1+x2+…+xn)ln(1-)<-(x1+x2+…+xn)<-(-)=- (**)
将(**)代入(*)中,可知-[ln22+ln32+ln42+…+ln(n+1)2]<-
∴ln22+ln32+ln42+…+ln(n+1)2>