问题
解答题
设函数f （x）=x3+ax2-（2a+3）x+a2，a∈R．
（Ⅰ） 若x=1是f （x）的极大值点，求实数a的取值范围；
（Ⅱ） 设函数g（x）=bx2-（2b+1）x+ln x （b≠0，b∈R），若函数f （x）有极大值，且g（x）的极大值点与f （x）的极大值点相同．当a＞-3时，求证：g（x）的极小值小于-1．
答案
（Ⅰ） f′（x）=3x2+2ax-（2a+3）=（x-1）（3x+2a+3）．
由于x=1是f （x）的极大值点，
故-
＞1，2a+3 3
即a＜-3
（Ⅱ） f′（x）=3x2+2ax-（2a+3）=（x-1）（3x+2a+3）．
g′（x）=
+2bx-（2b+1）=1 x
．(x-1)(2bx-1) x
由于函数f （x）有极大值，故-
≠1，即a≠-3．2a+3 3
当 a＞-3时，即-
＜1，则f （x）的极大值点x=-2a+3 3
，2a+3 3
所以，g（x）的极大值点x=
，极小值点为x=1．1 2b
所以，
⇔-
=2a+3 3 1 2b 0＜
＜11 2b
，-
=2a+3 3 1 2b b＞ 1 2
此时，g（x）的极小值g（1）=b-（2b+1）=-1-b＜-
＜-1．3 2
