问题 解答题

已知函数f(x)=x2+ax-lnx,a∈R.

(Ⅰ)若a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(Ⅱ)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围;

(Ⅲ)令g(x)=f(x)-x2,是否存在实数a,当x∈(0,e](e是自然常数)时,函数g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.

答案

(I)a=0时,曲线y=f(x)=x2-lnx,

∴f′(x)=2x-

1
x
,∴g′(1)=1,又f(1)=1

曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程x-y=0.

(II) f(x)=2x+a-

1
x
=
2x2+ax-1
x
≤0在[1,2]上恒成立,

令h(x)=2x2+ax-1,有

h(1)≤0
h(2)≤0
a≤-1
a≤-
7
2

a≤-

7
2

(II)假设存在实数a,使g(x)=ax-lnx(x∈(0,e])有最小值3,g(x)=a-

1
x
=
ax-1
x

①当a≤0时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae-1=3,a=

4
e
(舍去),

②当 0<

1
a
<e时,g(x)在 (0,
1
a
)
上单调递减,在 (
1
a
,e]
上单调递增

g(x)min=g(

1
a
)=1+lna=3,a=e2,满足条件.

③当

1
a
≥e时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae-1=3,a=
4
e
(舍去),

综上,存在实数a=e2,使得当x∈(0,e]时g(x)有最小值3.

选择题
单项选择题

根据案例,回答下面问题:
张山今年35岁,是一 * * 险公司的副总裁,年薪30万元;张山的妻子李红今年27岁,在一家制造业公司工作,年薪5万元;他们的孩子琳琳今年3岁。张山有一个姐姐和一个有残障的弟弟。李红的母亲今年55岁。
张山一家在海边有一间价值20万元的小木屋。现在居住的房屋是张山2005年9月购买的,房屋价值100万元,首付30%,剩余按揭。按当时的房屋按揭相关规定,张山必须为按揭房投保“房贷险”,为此,他向某保险公司一次性支付总投保金2万元。
张山的业余爱好是收集古玩,家里收藏了超过15万元的古董,还有一幅字画;李红喜欢佩戴首饰,她有一条价值10万元的珍珠项链、一只价值5万元的钻戒。张山全家都喜欢旅行,曾一起在欧洲、南美、日本度过假。
张山家有三辆汽车,其中包括一辆价值30万元的奥迪A4,所有车辆均于2006年在中国人民财产保险公司投保。
张山在2005年3月为妻子购买了一份重大疾病保险,选择年缴方式,每年的10月1日缴费。由于笔误,张山在填写投保单时将妻子的年龄写小了2岁,保险公司审核时,并未发现这一问题。

若直到2008年,保险公司进行内部业务复核时才发现李红的医疗保险保单中年龄填写有误,则保险公司应采取( )的处理方式。

A.要求张山补齐保费差额

B.免除张山因误报年龄造成的保费差额

C.由于张山提供的妻子的资料与实际有误,终止与张山的合同

D.拒绝承保