问题
解答题
已知函数f（x）=x2+ax-lnx，a∈R．
（Ⅰ）若a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
答案
（I）a=0时，曲线y=f（x）=x2-lnx，
∴f′（x）=2x-
| 1 |
| x |
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程x-y=0．
（II） f′(x)=2x+a-
| 1 |
| x |
| 2x2+ax-1 |
| x |
令h（x）=2x2+ax-1，有
|
|
得 a≤-
| 7 |
| 2 |
（II）假设存在实数a，使g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，g′(x)=a-
| 1 |
| x |
| ax-1 |
| x |
①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae-1=3，a=
| 4 |
| e |
②当 0＜
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
| 1 |
| a |
∴g(x)min=g(
| 1 |
| a |
③当
| 1 |
| a |
| 4 |
| e |
综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．