问题
解答题
已知函数f（x）=x2+ax-lnx，a∈R．
（Ⅰ）若a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）令g（x）=f（x）-x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
答案
（I）a=0时，曲线y=f（x）=x2-lnx，
∴f′（x）=2x-
，∴g′（1）=1，又f（1）=11 x
曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程x-y=0．
（II） f′(x)=2x+a-
=1 x
≤0在[1，2]上恒成立，2x2+ax-1 x
令h（x）=2x2+ax-1，有
得 h(1)≤0 h(2)≤0
，a≤-1 a≤- 7 2
得 a≤-7 2
（II）假设存在实数a，使g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，g′(x)=a-
=1 x ax-1 x
①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae-1=3，a=
（舍去），4 e
②当 0＜
＜e时，g（x）在 (0，1 a
)上单调递减，在 (1 a
，e]上单调递增1 a
∴g(x)min=g(
)=1+lna=3，a=e2，满足条件．1 a
③当
≥e时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae-1=3，a=1 a
（舍去），4 e
综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．