已知函数f（x）=x2+ax-lnx，a∈R．（Ⅰ）若a=0时，求曲线y=f（

问题解答题

已知函数f（x）=x²+ax-lnx，a∈R．

（Ⅰ）若a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

（Ⅱ）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）令g（x）=f（x）-x²，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

答案

（I）a=0时，曲线y=f（x）=x²-lnx，

∴f′（x）=2x-

，∴g′（1）=1，又f（1）=1

曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程x-y=0．

（II） f′(x)=2x+a-

2x2+ax-1

≤0在[1，2]上恒成立，

令h（x）=2x²+ax-1，有

h(1)≤0

h(2)≤0

得

a≤-1

a≤-

，

得 a≤-

（II）假设存在实数a，使g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，g′(x)=a-

ax-1

①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，a=

（舍去），

②当 0＜

＜e时，g（x）在 (0，

)上单调递减，在 (

，e]上单调递增

∴g(x)min=g(

)=1+lna=3，a=e²，满足条件．

③当

≥e时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，a=

（舍去），

综上，存在实数a=e²，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．