问题
解答题
已知函数f(x)=x2+ax-lnx,a∈R.
(Ⅰ)若a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)若函数f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)令g(x)=f(x)-x2,是否存在实数a,当x∈(0,e](e是自然常数)时,函数g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
答案
(I)a=0时,曲线y=f(x)=x2-lnx,
∴f′(x)=2x-
1 |
x |
曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程x-y=0.
(II) f′(x)=2x+a-
1 |
x |
2x2+ax-1 |
x |
令h(x)=2x2+ax-1,有
|
|
得 a≤-
7 |
2 |
(II)假设存在实数a,使g(x)=ax-lnx(x∈(0,e])有最小值3,g′(x)=a-
1 |
x |
ax-1 |
x |
①当a≤0时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae-1=3,a=
4 |
e |
②当 0<
1 |
a |
1 |
a |
1 |
a |
∴g(x)min=g(
1 |
a |
③当
1 |
a |
4 |
e |
综上,存在实数a=e2,使得当x∈(0,e]时g(x)有最小值3.