问题
解答题
已知函数f（x）=x3+ax2-（2a+3）x+a2（a∈R）．
（1）若函数f（x）在区间（1，+∞）上有极小值点，求实数a的取值范围；
（2）若当x∈[-1，1]时，f（x）＞0，求实数a的取值范围．
答案
（1）f'（x）=3x2+2ax-（2a+3）=（3x+2a+3）（x-1）
令f′（x）=0，得x=1，或x=-
，2a+3 3
使函数f（x）在区间（1，+∞）上有极小值点，
则-
＞1，解得：a＜-3． （6分）2a+3 3
（2）由题意知，即使x∈[-1，1]时，（f（x））min＞0．
①当-
≥1，即a≤-3时，f（x）在x∈[-1，1]上单调递增，2a+3 3
∴（f（x））min=f（-1）=a2+3a+2＞0，得a＞-1或a＜-2，
由此得：a≤-3；
②当-1＜-
＜1，即-3＜a＜0，f（x）在[-1，-2a+3 3
]为增函数，在[-2a+3 3
，1]上为减函数，2a+3 3
所以（f（x））min=min{f（-1），f（1）}，
得
⇒a＞2或a＜-2f(-1)=a2+3a+2＞0 f(1)=a2-a-2＞0
由此得-3＜a＜-2；
③当-
≤-1，即a≥0，f（x）在x∈[-1，1]上为减函数，所以（f（x））min=f（1）=a2-a-2＞02a+3 3
得a＞2或a＜-1，由此得a＞2；
由①②③得实数a的取值范围为a＞2或a＜-2．（15分）
