（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），且 f′(x)=

1

x

+

m

x2

=

x+m

x2

．

令f′（x）=0，得 x=-m．--------------（2分）

当m≥0时，x+m＞0，f′(x)=

x+m

x2

＞0，函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；

当m＜0时，在区间（0，-m）上f′（x）＜0，函数f（x）在（0，-m）上是减函数；

在区间（-m，+∞）上f′（x）＞0，函数f（x）在（-m，+∞）上是增函数．---（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′(x)=

x+m

x2

，

（1）若m≥-1，则在区间[1，e]上f′（x）≥0，函数f（x）在[1，e]上是增函数，

此时，f（x）取最小值f（1），

由f（1）=-m=3，得m=-3∉[-1，+∞）；--------（8分）

（2）若m≤-e，则在区间[1，e]上f′（x）≤0，函数f（x）在[1，e]上是减函数，

此时，f（x）取最小值f（e），

由f(e)=1-

m

e

=3，得m=-2e∈（-∞，-e]；-------（10分）

（3）若-e＜m＜-1，

则在区间[1，-m）上f′（x）≤0，函数f（x）在[1，-m）上是减函数，

在区间（-m，+∞）上f′（x）≥0，函数f（x）在（-m，+∞）上是增函数，

此时，f（x）取最小值f（-m），

由f（-m）=ln（-m）+1=3，得m=e²∉（-e，-1）；------（12分）

综上所述，存在实数m=-2e，使得f（x）在区间[1，e]上取得最小值3．----------（13分）