解：作AC⊥x轴，由已知得OC=4，AC=3，OA==5，

（1）当OA=OB=5时，

如果点B在x轴的负半轴上，如图（1），点B的坐标为（-5，0），

如果点B在x轴的正半轴上，如图（2），点B的坐标为（5，0），

当OA=AB时，点B在x轴的负半轴上，如图（3），

BC=OC，则OB=8，点B的坐标为（-8，0），

当AB=OB时，点B在x轴的负半轴上，如图（4），

在x轴上取点D，使AD=OA，可知OD=8，

由∠AOB=∠OAB=∠ODA，可知△AOB∽△ODA，则

，解得OB=，点B的坐标为（-，0）；

（2）当AB=OA时，抛物线过O（0，0），A（-4，3），B（-8，0）三点，

设抛物线的函数表达式为，可得方程组，

解得a=，b=，，

（当OA=OB时，同理得）

（3）当OA=AB时，若BP∥OA，如图（5），作PE⊥x轴，

则∠AOC=∠PBE，∠ACO=∠PEB=90°，△AOC∽△PBE，

，设BE=4m，PE=3m，则点P的坐标为（4m-8，-3m），

代入，解得m=3，

则点P的坐标为（4，-9），

S_梯形ABPO=S_△ABO+S_△BPO=48，

若OP∥AB（图略），根据抛物线的对称性可得点P的坐标为（-12，-9），

S_梯形AOPB=S_△ABO+S_△BPO=48，

（当OA=OB时，若BP∥OA，如图（6），作PF⊥x轴，

则∠AOC=∠PBF，∠ACO=∠PFB=90°，△AOC∽△PBF，

，设BF=4m，PF=3m，

则点P的坐标为（4m-5，-3m），代入，解得m=，

则点P的坐标为（1，-），

S_梯形ABPO=S_△ABO+S_△BPO=，

若OP∥AB（图略），

作PF⊥x轴，则∠ABC=∠POF，∠ACB=∠PFO=90°，△ABC∽△POF，

，设点P的坐标为（-n，-3n），代入，

解得n=9，则点P的坐标为（-9，-27），

S_梯形AOPB=S_△ABO+S_△BPO=75。