（1）a=1，f（x）=|x-1|-lnx

当x≥1时，f（x）=x-1-lnx，f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

≥0

∴f（x）在区间[1，+∞）上是递增的．

（2）x＜1时，f（x）=x-1-lnx，f′（x）=1-

1

x

＜0

∴f（x）在区间（0，1）减的．

故a=1时f（x）在[1，+∞）上是递增的，减区间为（0，1），f（x）_min=f（1）=0

a≥1  x＞a f（　x　）=x-a-lnx，f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

≥0

f（x）在[a，+∞）上是递增的，

0＜x＜a，f（x）=-x+a-lnx，f′（x）=-1-

1

x

＜0

∴f（x）在   （0，a）递减函数，

0＜a＜1，x≥af（x）=x-a-lnx

f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，x＞1，f′（x）＞0，a＜x＜1，f′（x）＜0

f（x）在[1，+∞）递增函数f（x）在[a，1）递减函数

0＜x＜a 时 f（x）=a-x-lnx，f′（x）=-1-

1

x

＜0

∴f（x） 在  （0，a）递减函数

f（x）在[1，+∞）递减函数，（0，1）递减函数．

a≥1 时 f（x）在[a，+∞），（0，a）增函数．

0＜a＜1 时 f（x）在[1，+∞），（0，1）增函数．

（3）当a=1  x＞1 时 x-1-lnx＞0 

lnx

x

＜ 1-

1

x

∴

ln22

22

+

ln32

32

+ …+

lnn2

n2

＜1-

1

22

+1-

1

32

+…+1-

2

n2

=n-1-（

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

）＜n-1-（

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

）=n-1-（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

）=n-1-（

1

2

-

1

n+1

）=

(n-1)(2n+1)

2(n+1)