问题 解答题
已知函数f(x)=
k
x
e
,其中k∈R且k≠0.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当k=l时,若存在x>0,使1nf(x)>ax成立,求实数a的取值范围.
答案

(1)函数的定义域为R,求导函数可得f′(x)=

-kx(x-1)
ex

当k<0时,令f′(x)>0,可得x<0或x>2;令f′(x)<0,可得0<x<2

∴函数f(x)的单调增区间为(-∞,0),(2,+∞),单调减区间为(0,2);

当k<0时,令f′(x)<0,可得x<0或x>2;令f′(x)>0,可得0<x<2

∴函数f(x)的单调增区间为(0,2),单调减区间为(-∞,0),(2,+∞);

(2)当k=l时,f(x)=

x
e
,x>0,1nf(x)>ax成立,等价于a<
2lnx-x
x

设g(x)=

2lnx-x
x
(x>0)

存在x>0,使1nf(x)>ax成立,等价于a<g(x)max

g′(x)=

2(1-lnx)
x2
,当0<x<e时,g′(x)>0;当x>e时,g′(x)<0

∴g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减

∴g(x)max=g(e)=

2
e
-1

∴a<

2
e
-1.

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