问题
解答题
已知函数f(x)=
(1)求函数f(x)的单调区间; (2)当k=l时,若存在x>0,使1nf(x)>ax成立,求实数a的取值范围. |
答案
(1)函数的定义域为R,求导函数可得f′(x)=-kx(x-1) ex
当k<0时,令f′(x)>0,可得x<0或x>2;令f′(x)<0,可得0<x<2
∴函数f(x)的单调增区间为(-∞,0),(2,+∞),单调减区间为(0,2);
当k<0时,令f′(x)<0,可得x<0或x>2;令f′(x)>0,可得0<x<2
∴函数f(x)的单调增区间为(0,2),单调减区间为(-∞,0),(2,+∞);
(2)当k=l时,f(x)=
,x>0,1nf(x)>ax成立,等价于a<x 2 e x 2lnx-x x
设g(x)=
(x>0)2lnx-x x
存在x>0,使1nf(x)>ax成立,等价于a<g(x)max,
g′(x)=
,当0<x<e时,g′(x)>0;当x>e时,g′(x)<02(1-lnx) x2
∴g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减
∴g(x)max=g(e)=
-12 e
∴a<
-1.2 e