（I）∵a＞0，b∈R，函数f(x)=

1

2

x2+alnx-(a+1)x+b，

∴f′(x)=x+

a

x

-(a+1)

=

x2-(a+1)x+a

x

=

(x-1)(x-a)

x

，x∈（0，+∞）

令f′（x）=0，得x=a，或x=a．

①当0＜a＜1时，f（x）的单调递增区间为（0，a），（1，+∞）；

②当a=1时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；

③当a＞1时，f（x）的单调递增区间是（0，1），（a，+∞）．

（II）设切点为P（x₀，y₀），切线斜率为k，

则方程组

y0=k(x0-3) y0= 1 2 x02+2lnx0-3x0+b k=f′(x0)= (x0-1)(x0-2) x0

，

即关于x₀的方程

1

2

x02+2lnx0-3x0+b=

(x0-1)(x0-2)(x0-3)

x0

有三个不等实根，

整理，得b=

(x0-1)(x0-2)(x0-3)

x0

-(

1

2

x02+2lnx0-3x0)

=

1

2

x02-3x0-

6

x0

-2lnx0+11，

令h（x）=

1

2

x2-3x-

6

x

-2lnx+11，x∈(0，+∞)，

则h′（x）=x-3+

6

x2

-

2

x

，

h′（x）=0，解得x=

2

，或x=3．

当x变化时，h′（x）与h（x）的变化情况如下表：

x	（0， 2 ）	2	（ 2 ，3）	3	（3，+∞）
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

当x=1时，h（x）取得极大值h（

2

）=12-6

2

-ln2．

当x=3时，h（x）取得极小值h（3）=

9

2

-2ln3；

又当x趋近于0时，h（x）充分小，当x趋近于+∞时，h（x）充分大，

故当b∈（

9

2

-2ln3，12-6

2

-ln2）时，可作三条切线．