已知f（x）=ax3-x2+bx+c，（a，b，c∈R且a≠0）在（-∞，0）上

问题解答题

已知f（x）=ax³-x²+bx+c，（a，b，c∈R且a≠0）在（-∞，0）上是增函数，在[0，3]上是减函数，且方程f（x）=0有三个实根．

（1）求b的值；

（2）求实数a的取值范围．

答案

（1）∵f′（x）=3ax²-2x+b，函数在（-∞，0）上是增函数，在[0，3]上是减函数．

∴当x=0时，f′（x）取得极小值．∴f′（0）=0．∴b=0

（2）∵方程f（x）=0有三个实根，∴a≠0

∴f′（x）=3ax²-2x+b=0的两根分别为0，

．

∴f′（x）＞0在（-∞，0）时恒成立，f′（x）≤0在[0，3]时恒成立

由二次函数的性质可知a＞0，

≥3，∴0＜a≤

∵方程f（x）=0有三个实根，∴极大值大于0极小值小于0，即

f(0)=c＞0

)=-

27a2

+c＜0

∴当0＜c≤

时，0＜a≤

；当c＞

时，0＜a≤