问题
解答题
设函数f（x）=2x3-3（a+3）x2+18ax-8a，x∈R．
（Ⅰ）当a=-1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[1，2]上为减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）当方程f（x）=0有三个不等的正实数解时，求实数a的取值范围．
答案
由题得：f′（x）=6x2-6（a+3）x+18a=6（x-3）（x-a）．
（Ⅰ）当a=-1时，f′（x）=6（x-3）（x+1）．…（1分）
令f′（x）＞0，得x＜-1或x＞3．
所以f（x）在（-∞，-1）或（3，+∞）上单调递增，在（-1，3）上单调递减．
当x=-1时，f（x）的最大值为f（-1）=18．
当x=3时，f（x）的最小值为f（3）=-46．…（4分）
（Ⅱ）依题意：f′（x）=6（x-3）（x-a）≤0在x∈[1，2]恒成立．…（5分）
因x∈[1，2]，（3-x）＞0，
故a≤
=x在x∈[1，2]恒成立，3x-x2 3-x
所以a≤xmin=1．…（8分）
（Ⅲ）显然，x=3，x=a是极值点．
依题意，当方程f（x）=0有三个不等的正实数解时，有：
a＞0 f(a)f(3)＜0
即
…（12分）a＞0 (19a-27)(-a)(a-1)(a-8)＜0
所以：1＜a＜
或a＞8为所求．…（14分）27 19