已知函数f(x)=x2+2(1-a)x+2(1-a)ln(x-1)x∈(1,+∞). (1)x=
(2)求函数f(x)的单调区间; (3)当a=2时,函数g(x)=-x2-b,(b>0),若对任意m1,m2∈[
|
(1)函数f(x)=x2+2(1-a)x+2(1-a)ln(x-1)
f′(x)=2x+2(1-a)+
,…(2分)2(1-a) x-1
∵x=
是函数的一个极值点,3 2
∴f′(
)=03 2
解得:a=
…(4分)3 2
(2)∵f′(x)=2x+2(1-a)+
=2(1-a) x-1 2x(x-a) x-1
又f(x)的定义域为(1,+∞).
∴当a≤1时,函数f(x)的单调增区间(1,+∞).…(6分)
当a>1时,函数f(x)的单调增区间(a,+∞),减区间为(1,a).…(…(8分)
(3)当a=2时,由(2)知f(x)在(1,2)减,在(2,+∞)增.
∵f(2)=0,f(
+1)=1 e
,f(e+1)=e2-31 e2+1
∴y=f(x)在[
+1,e+1]上的值域为[0,e2-3]…(10分)1 e
∵函数g(x)=-x2-b在[
+1,e+1]上是减函数,1 e
∴y=g(x)在[
+1,e+1]上的值域为[-(e+1)2-b,-(1 e
+1)2-b]…(11分)1 e
∵b>0
∴-(e+1)2-b,-(
+1)2-b都小于01 e
∴
<2e2+2e,只要e2-3-[-(e+1)2-b]=e2-3+(e+1)2+b=2e2+2e-2+b<2e2+2e即可g(m2)-f(m1)
…(12分)
解得:0<b<2…(14分)