问题 解答题
已知函数f(x)=x2+2(1-a)x+2(1-a)ln(x-1)x∈(1,+∞).
(1)x=
3
2
是函数的一个极值点,求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)当a=2时,函数g(x)=-x2-b,(b>0),若对任意m1,m2∈[
1
e
+1,e+1],
.
g(m2)-f(m1) 
  
.
<2g2+2g
都成立,求b的取值范围.
答案

(1)函数f(x)=x2+2(1-a)x+2(1-a)ln(x-1)

f′(x)=2x+2(1-a)+

2(1-a)
x-1
,…(2分)

∵x=

3
2
是函数的一个极值点,

∴f′(

3
2
)=0

解得:a=

3
2
…(4分)

(2)∵f′(x)=2x+2(1-a)+

2(1-a)
x-1
=
2x(x-a)
x-1

又f(x)的定义域为(1,+∞).

∴当a≤1时,函数f(x)的单调增区间(1,+∞).…(6分)

当a>1时,函数f(x)的单调增区间(a,+∞),减区间为(1,a).…(…(8分)

(3)当a=2时,由(2)知f(x)在(1,2)减,在(2,+∞)增.

∵f(2)=0,f(

1
e
+1)=
1
e2+1
,f(e+1)=e2-3

∴y=f(x)在[

1
e
+1,e+1]上的值域为[0,e2-3]…(10分)

∵函数g(x)=-x2-b在[

1
e
+1,e+1]上是减函数,

∴y=g(x)在[

1
e
+1,e+1]上的值域为[-(e+1)2-b,-(
1
e
+1)2-b]…(11分)

∵b>0

∴-(e+1)2-b,-(

1
e
+1)2-b都小于0

.
g(m2)-f(m1) 
  
.
<2e2+2e,只要e2-3-[-(e+1)2-b]=e2-3+(e+1)2+b=2e2+2e-2+b<2e2+2e即可

…(12分)

解得:0<b<2…(14分)

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