已知函数f(x)=-alnx+(a+1)x-
(1)若x=1是函数f(x)的极大值点,求函数f(x)的单调递减区间; (2)若f(x)≥-
|
(1)求导数可得,f′(x)=(x-a)(-x+1) x
∵x=1是函数f(x)的极大值点,
∴0<a<1
∴函数f(x)的单调递减区间为(0,a),(1,+∞);
(2)∵f(x)≥-
x2+ax+b恒成立,1 2
∴alnx-x+b≤0恒成立,
令g(x)=alnx-x+b,则g′(x)=a-x x
∴g(x)在(0,a)上单调递增,在(a,+∞)上单调递减
∴g(x)max=g(a)=alna-a+b≤0
∴b≤a-lna,∴ab≤a2-a2lna
令h(x)=x2-x2lnx(x>0),则h′(x)=x(1-2lnx)
∴h(x)在(0,e
)上单调递增,在(e1 2
,+∞)上单调递减1 2
∴h(x)max=h(e
)=1 2
,∴ab≤e 2 e 2
即ab的最大值为
.e 2