问题 解答题
已知函数f(x)=-alnx+(a+1)x-
1
2
x2 (a>0)

(1)若x=1是函数f(x)的极大值点,求函数f(x)的单调递减区间;
(2)若f(x)≥-
1
2
x2+ax+b
恒成立,求实数ab的最大值.
答案

(1)求导数可得,f′(x)=

(x-a)(-x+1)
x

∵x=1是函数f(x)的极大值点,

∴0<a<1

∴函数f(x)的单调递减区间为(0,a),(1,+∞);

(2)∵f(x)≥-

1
2
x2+ax+b恒成立,

∴alnx-x+b≤0恒成立,

令g(x)=alnx-x+b,则g′(x)=

a-x
x

∴g(x)在(0,a)上单调递增,在(a,+∞)上单调递减

∴g(x)max=g(a)=alna-a+b≤0

∴b≤a-lna,∴ab≤a2-a2lna

令h(x)=x2-x2lnx(x>0),则h′(x)=x(1-2lnx)

∴h(x)在(0,e

1
2
)上单调递增,在(e
1
2
,+∞)上单调递减

∴h(x)max=h(e

1
2
)=
e
2
,∴ab≤
e
2

即ab的最大值为

e
2

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