问题
解答题
已知函数f（x）=exlnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）设x＞0，求证：f（x+1）＞e2x-1；
（3）设n∈N*，求证：ln（1×2+1）+ln（2×3+1）+…+ln[n（n+1）+1]＞2n-3．
答案
（1）定义域为（0，+∞），由f′（x）=exlnx（lnx+1），
令f′(x)＞0，解得x＞
；令f′(x)＜0，解得0＜x＜1 e
．1 e
故f（x）的增区间：(
，+∞)，减区间：(0，1 e
)，1 e
（2）即证：(x+1)ln(x+1)＞2x-1⇔ln(x+1)＞
⇔ln(x+1)-2x-1 x+1
＞02x-1 x+1
令g(x)=ln(x+1)-
，由g′(x)=2x-1 x+1
-1 x+1
=3 (x+1)2
，x-2 (x+1)2
令g′（x）=0，得x=2，且g（x）在（0，2）↓，在（2，+∞）↑，所以g（x）min=g（2）=ln3-1，
故当x＞0时，有g（x）≥g（2）=ln3-1＞0得证，
（3）由（2）得ln(x+1)＞
，即ln(x+1)＞2-2x-1 x+1
，3 x+1
所以ln[k(k+1)+1]＞2-
＞2-3 k(k+1)+1
，3 k(k+1)
则：ln（1×2+1）+ln（2×3+1）+…+ln[（n（n+1）]+1＞(2-
)+(2-3 1×2
)+…+[2-3 2×3
]=2n-3+3 n(n+1)
＞2n-3．3 n+1