（1）由g'（x）=3x²-6tx＞0和g′（x）=3x²-6tx＜0（t＞0）

知g（x）在（-∞，0）和（2t，+∞）上是增函数，

g（x）在（0，2t）上是减函数

即g（x）单调递增区间为（-∞，0）和（2t，+∞），

g（x）单调递减区间为（0，2t）．（6分）

（2）由曲线y=g（x）在点M（a，g（a））和N（b，g（b））（a＜b）处的切线都与y轴垂直知，

g′（a）=g′（b）=0，又a＜b，所以a=0，b=2t，

若方程g（x）=0在区间[a，b]上有解，即曲线g（x）在区间[0，2t]上与x轴相交，

又g（x）在[0，2t]上单调，所以g（0）g（2t）≤0，

即t²（3t-1）（4t²+3t-1）≤0，

得t∈[