问题
解答题
已知函数g（x）=x3-3ax2-3t2+t（t＞0）
（1）求函数g（x）的单调区间；
（2）曲线y=g（x）在点M（a，g（a））和N（b，g（b））（a＜b）处的切线都与y轴垂直，若方程g（x）=0在区间[a，b]上有解，求实数t的取值范围．
答案
（1）由g'（x）=3x2-6tx＞0和g′（x）=3x2-6tx＜0（t＞0）
知g（x）在（-∞，0）和（2t，+∞）上是增函数，
g（x）在（0，2t）上是减函数
即g（x）单调递增区间为（-∞，0）和（2t，+∞），
g（x）单调递减区间为（0，2t）．（6分）
（2）由曲线y=g（x）在点M（a，g（a））和N（b，g（b））（a＜b）处的切线都与y轴垂直知，
g′（a）=g′（b）=0，又a＜b，所以a=0，b=2t，
若方程g（x）=0在区间[a，b]上有解，即曲线g（x）在区间[0，2t]上与x轴相交，
又g（x）在[0，2t]上单调，所以g（0）g（2t）≤0，
即t2（3t-1）（4t2+3t-1）≤0，
得t∈[
，1 4
]．（12分）1 3