（Ⅰ）fn′(x)=(1+

1

n

)xln(1+

1

n

)

则fn′(0)=ln(1+

1

n

)，设函数φ（x）=ln（1+x）-x，x∈（0，1]

则φ′(x)=

1

1+x

-1=

-x

1+x

＜0，则φ（x）单调递减，

所以ln（1+x）-x＜φ（0）=0，所以ln（1+x）＜x

则ln(1+

1

n

)＜

1

n

，即fn′(0)＜

1

n

；

（Ⅱ）

fn′(n)

n+1

=

(1+ 1 n )nln(1+ 1 n )

n+1

＜

(1+ 1 n )n

n(n+1)

．

因为(1+

1

n

)n＜1+1+

1

1•2

+

1

2•3

++

1

(n-1)n

=3-

1

n

＜3

则

f1′(1)

2

+

f2′(2)

3

+

f3′(3)

4

++

fn′(n)

n+1

＜3(

1

1•2

+

1

2•3

++

1

(n-1)n

)=3(1-

1

n

)＜3

则原结论成立．