已知函数f（x）=2x3+px+r，g（x）=15x2+qlnx（p，q，r∈R

问题解答题

已知函数f（x）=2x³+px+r，g（x）=15x²+qlnx（p，q，r∈R）．

（I）当r=-35时f（x）和g（x）在x=1处有共同的切线，求p、q的值；

（II）已知函数h（x）=f（x）-g（x）在x=1处取得极大值-13，在x=x₁和x=x₂（x₁≠x₂）处取得极小值h（x₁）和h（x₂），若h（x₁）+h（x₂）＜kln3-10成立，求整数k的最小值．

答案

（Ⅰ） f′（x）=6x²+p，g′(x)=30x+

，

由题意得：

f′(1)=g′(1)

f(1)=g(1)

，故

6+p=30+q

2+p-35=15

，解得：

p=48

q=24

．（5分）

（Ⅱ）∵h（x）=f（x）-g（x）=2x³+px+r-15x²-qlnx，

∴h′(x)=6x2+p-30x-

．

由

h′(1)=0

h(1)=-13

得：

6+p-30-q=0

2+p+r-15=-13

，得

q=p-24

r=-p

．

∴h′(x)=6x2+p-30x-

p-24

6x3-30x2+px-p+24

6x3-6x2-24x2+px-p+24

(x-1)(6x2-24x-24+p)

．

由题意知h（x）在x=x₁和x=x₂处取得极小值，则0＜x₁＜1＜x₂，

设m（x）=6x²-24x+p-24，则

m(0)＞0

m(1)＜0

，从而24＜p＜42．

且

x1+x2=4

x1x2=

p-24

，设x₁x₂=t，则0＜t＜3

.h(x1)+h(x2)=2(x13+x23)+p(x1+x2)-2p-15(x12+x22)-(p-24)ln(x1x2)

=2(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]+4p-2p-15[(x1+x2)2-2x1x2]-(p-24)ln(x1x2)

=-112+6•x₁x₂+2p-（p-24）ln（x₁x₂）

=-112+6t+12t+48-6tlnt

=-64+18t-6tlnt．（6分）

设F（t）=-64+18t-6tlnt，

则F′（t）=18-（6lnt+6）=6（2-lnt）＞0，

∴F（t）在（0，3）上是增函数，

∴h（x₁）+h（x₂）＜F（3）=-10-18ln3．

则kln3-10≥-10-18ln3，从而k≥-18．

即：所求的k的最小值为-18．