问题
解答题
已知f（x）=ax2（a∈R），g（x）=2lnx．
（1）讨论函数F（x）=f（x）-g（x）的单调性；
（2）是否存在这样的a的值，使得f（x）≥g（x）+2（x∈R*）恒成立，若不存在，请说明理由；若存在，求出所有这样的值．
答案
（1）∵f（x）=ax2（a∈R），g（x）=2lnx．
函数F（x）=f（x）-g（x），
∴F（x）=ax2-2lnx，
其定义域为（0，+∞）（1分）
∴F′(x)=2ax-
=2 x
(x＞0)2(ax2-1) x
（i）当a＞0时，由ax2-1＞0得x＞
．由ax2-1＜0得0＜x＜1 a 1 a
故当a＞0时，F(x)的递增区间为(
，+∞)，递减区间为(0，1 a
)．（4分）1 a
（ii）当a＜0时，F'（x）＜0（x＞0）恒成立
故当a≤0时，F（x）在（0，+∞）上单调递减．（6分）
（2）即使F（x）≥2在x＞0时恒成立．
由（1）可知当a≤0时，x→+∞，
则F（x）→-∞．F（x）≥2在x＞0时不可能恒成立．（7分）
∴a＞0，由（1）可知
Fmin(x)=F(
)=1-2ln1 a
=1-ln1 a
（10分）1 a
∴只须1-ln
≥2即可，1 a
∴lna≥1，
∴a≥e，
故存在这样的a的值，
使得f（x）≥g（x）+2（x∈R+）恒成立．
a的取值范围为[e，+∞）．（12分）