x＞0，f′（x）=lnx+

x+1

x

-a．

（I）f′（x）＞0恒成立，即a＜lnx+

1

x

+1（x≥1）恒成立，

令h（x）=lnx+

1

x

+1，则h′（x）=

x-1

x2

≥0，

∴h（x）在[1，+∞）上是增函数，

∴当x∈[1，+∞）时，h（x）最小值=h（1）=2，

故a＜2．

（II）g（x）=f′（x）-

a

x

=lnx+

x+1

x

-a-

a

x

=lnx+

1-a

x

+1-a，

g′（x）=

x-(1-a)

x2

，

当a≥1时，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，+∞）上递增；

当a＜1时，g′（x）=0，得x=1-a，

x∈（0，1-a）时，g′（x）＜0函数g（x）在（0，+∞）上递减；

x∈（1-a，+∞）时，g′（x）＞0函数g（x）在（0，+∞）上递增；

故函数g(x)=f′(x)-

a

x

的单调区间为：

当a≥1时，函数g（x）递增区间为：（0，+∞）；

当a＜1时，函数g（x）递增区间为：（1-a，+∞）；函数g（x）递减区间为：（0，1-a）．