问题
解答题
已知函数f（x）=6lnx+x2-8x，g(x)=
（1）求函数f（x）的单调递增区间； （2）若在区间[1，e]上至少存在一点x0，使f（x0）＞g（x0）成立，求实数p的取值范围． |
答案
（1）∵f′(x)=
+2x-8=6 x
=2x2-8x+6 x
（3分）2(x-3)(x-1) x
∴x∈（1，3）时，f'（x）＜0，
∴f（x）在[1，3]单调递减，
x∈（0，1）或x∈（3，+∞）时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，1]和[3，+∞）单调递增（5分）
（2）令h(x)=f(x)-g(x)=6lnx-8x-
（6分）p x
∴h′(x)=
-8+6 x
=p x2
（7分）-8x2+6x+p x2
令-8x2+6x+p=0知△=36+32p，
（i）当36+32p≤0即p≤-
时，9 8
△≤0，此时h'（x）≤0，
∴h（x）在[1，e]单调递减，
∴h（x）max=h（1）=-8-p＞0，
∴p＜-8（9分）
（ii）当P＞-
时，9 8
方程（1）有两根x1=
，x2=3+ 9+8p 8
＜1．（10分）3- 9+8p 8
①若
≥e，即p≥8e2-6e时，3+ 9+8p 8
当x∈[1，e]，h'（x）≥0，此时h（x）在[1，e]上单调递增．
∴h(x)max=h(e)=6-8e-
＞0，得p＜6e-8e2，此时无解．（11分）p e
②若
≤1，3+ 9+8p 8
即-
＜p≤2时，9 8
当x∈[1，e]，h'（n）＜0，
∴h（x）在[1，e]单调递减．
∴h（x）max=h（1）=-8-p＞0，
∴p＜-8此时无解．（12分）
③当2＜p＜8e2-6e时，1＜
＜e，3+ 9+8p 8
∴x∈[1，
]，h′(x)＞0，h(x)单调递增，3+ 9+8p 8
x∈[
，e]，h′(x)＜0h（x）单调递减，3+ 9+8p 8
∴x=
时，h(x)max=h(3+ 9+8p 8
)=6ln3+ 9+8p 8
-8•3+ 9+8p 8
-3+ 9+8p 8
＜6lne-8=-2，此时无解（13分）p 3+ 9+8p 8
综上知p＜-8时存在x0使f（x0）＞g（x0）．（14分）