问题
解答题
已知函数f（x）=
（I）求f（x）的解析式； （II）设函数g（x）=x2-2ax+a，若对于任意的x1∈R，总存在x2∈[-1，1]，使得g（x2）≤f（x1），求实数a的取值范围． |
答案
（I）f′（x）=
=m(x2+n)-mx•2x (x2+n)2
，-m(x2-n) (x2+n)2
由题意可得
，f′(1)=0 f(1)=2
∴
，
=0-m(1-n) (1+n)2
=2m 1+n
∴m=4 n=1
∴f（x）=4x x2+1
（II）f′（x）=
，令f'（x）=0，得x=-1或x=1-4(x2-1) (x2+1)2
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
| x | （-∞，-1） | -1 | （-1，1） | 1 | （1，+∞） |
| f'（x） | - | 0 | + | 0 | - |
| f（x） | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
又∵x＞0时，f（x）＞0，∴f（x）的最小值为-2（10分）∵对于任意的x1∈R，总存在x2∈[-1，1]，使得g（x2）≤f（x1）∴当x∈[-1，1]时，g（x）最小值不大于-2
又g（x）=x2-2ax+a=（x-a）2+a-a2
当a≤-1时，g（x）的最小值为g（-1）=1+3a，由1+3a≤-2
得a≤-1（11分）
当a≥1时，g（x）最小值为g（1）=1-a，由1-a≤-2，得a≥3
当-1＜a＜1时，g（x）的最小值为g（a）=a-a2
由a-a2≤-2，得a≤-1或a≥2，又-1＜a＜1，
所以此时a不存在．（12分）
综上，a的取值范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）（13分）．