（I）f′（x）=

m(x2+n)-mx•2x

(x2+n)2

=

-m(x2-n)

(x2+n)2

，

由题意可得

f′(1)=0 f(1)=2

，

∴

-m(1-n) (1+n)2 =0 m 1+n =2

，

∴

m=4 n=1

∴f（x）=

4x

x2+1

（II）f′（x）=

-4(x2-1)

(x2+1)2

，令f'（x）=0，得x=-1或x=1

当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

∴f（x）在x=-1处取得极小值f（-1）=-2，在x=1处取得极大值f（1）=2

又∵x＞0时，f（x）＞0，∴f（x）的最小值为-2（10分）∵对于任意的x₁∈R，总存在x₂∈[-1，1]，使得g（x₂）≤f（x₁）∴当x∈[-1，1]时，g（x）最小值不大于-2

又g（x）=x²-2ax+a=（x-a）²+a-a²

当a≤-1时，g（x）的最小值为g（-1）=1+3a，由1+3a≤-2

得a≤-1（11分）

当a≥1时，g（x）最小值为g（1）=1-a，由1-a≤-2，得a≥3

当-1＜a＜1时，g（x）的最小值为g（a）=a-a²

由a-a²≤-2，得a≤-1或a≥2，又-1＜a＜1，

所以此时a不存在．（12分）

综上，a的取值范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）（13分）．