问题
解答题
已知 f（x）=ax-lnx，g（x）=
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调性、极值； （Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，f（x）＞g（x）+
（Ⅲ）是否存在a∈R，使f（x）的最小值是3，若存在求出a的值，若不存在，说明理由． |
答案
（Ⅰ）∵f（x）=x-lnx，f'（x）=1-
=1 x
（1分）x-1 x
∴0＜x＜1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减，
1＜x＜e时，f'（x）＞0，此时f（x）单调递增（3分）
∴f（x）的极小值为f（1）=1（4分）
（Ⅱ）∵f（x）的极小值为1，即f（x）在（0，e]上的最小值为1，
∴f（x）＞0，f（x）min=1（5分）
令h（x）=g（x）+
=1 2
+lnx x
，h'（x）=1 2
，（6分）1-lnx x2
当0＜x＜e时，h'（x）＞0，h（x）在（0，e]上单调递增（8分）
∴h（x）max=h（e）=
+1 e
＜1 2
+1 2
=1=f（x）min1 2
∴在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+
； （9分）1 2
（Ⅲ）假设存在实数a，使f（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，
f'（x）=a-
=1 x ax-1 x
①当a≤0时，f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=ae-1=3⇒a=
（舍去），所以，此时f（x）无最小值．（11分）4 e
②当0＜
＜e时，f（x）在（0，1 a
）上单调递减，在（1 a
，e]上单调递增1 a
f（x）min=f（
）=1+lna=3，a=e2，满足条件．（12分）1 a
③当
≥e时，f（x）在（0，e]上单调递减，f（x）min=f（e）=ae-1=3⇒a=1 a
（舍去），所以，此时f（x）无最小值．4 e
综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时f（x）有最小值3．（14分）