问题
解答题
| 已知f（x）=ln（ax+b）-x，其中a＞0，b＞0 （1）求f（x）在[0，+∝）上是减函数的充要条件； （2）求f（x）在[0，+∝）上的最大值； （3）解不等式in（1+
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答案
（1）f'（x）=
-1=a ax+b a-b-ax ax+b
充分性：因为x≥0，a＞0，b＞0所以，当f'（x）≤0时，a-b≤0，即a≤b
必要性：当a≤b时，因为a＞0，b＞0，x≥0，所以ax+b＞0，a-b-ax≤0，即f'（x）≤0
所以f（x）在[0，+∝）上是减函数的充要条件是“a≤b”
（2）由（1）知当a≤b时f（x）在[0，+∝）上是减函数
∴f（x）的最大值为f（0）=lnb
当b＜a时，因为f'（x）=a-b-ax ax+b
∴当0≤x＜
时，f'（x）＞0；当x＞a-b a
时，f'（x）＜0a-b a
即f（x）在[0，
]是增函数，f（x）在[a-b a
，+∞]是减函数a-b a
则当x=
时取得最大值为lna-a-b a a-b a
综上，[f（x）max]=
b＜alnb b≥a lna- a-b a
（3）在（1）中取a=b=1，得f（x）=ln（x+1）-x
由（1）知f（x）在[0，+∝）上是减函数
∵ln（1+
）-x- 1 x
≤ln2-1即f（x- 1 x
）≤f（1）x- 1 x
∴
≥1解得x- 1 x
≤x＜0或x≥1- 5 2 1+ 5 2
∴不等式的解集为[
，0）∪[1- 5 2
，+∞1+ 5 2