问题 解答题
已知:函数f(x)=
1
2
x2-ax+(a-1)lnx
(a>1)
(1)求函数y=f(x)的单调递增区间;
(2)若函数y=f(x)在x=2取极值,求函数y=f(x)在区间[e-2,e2]上的最大值.
答案

(1)函数f(x)定义域为x>0,

f′(x)=x-a+

a-1
x
=
x2-ax+a-1
x
=
[x-(a-1)](x-1)
x

由f'(x)>0且x>0

x>0
x2-ax+a-1>0
x>0
[x-(a+1)](x-1)>0

(i)当a-1=1即a=2时,f(x)在(0,+∞)上为增函数;

(ii)当a>2时,x>a-1或0<x<1,∴f(x)在(a-1,+∞),(0,1)上为增函数;

(iii)当1<a<2时,0<x<a-1或x>1,∴f(x)在(0,a-1),(1,+∞)上为增函数.

综上可知:f(x)的单调区间为:当a=2时,(0,+∞)

当a>2时,(a-1,+∞),(0,1)

当1<a<2时,(0,a-1),(1,+∞).

(2)x=2是f(x)极值点,∴f'(2)=0,即2-a+

a-1
2
=0,解得a=3.

f(x)=

1
2
x2-3x+2lnx(x>0),f′(x)=
(x-1)(x-2)
x

1
e2
<1<2<e2,且当2<x<e2时,f(x)>0;当1<x<2时,f(x)<0;当
1
e2
<x<1
时,f′(x)>0.

∴函数f(x)在区间[

1
e2
,1)及(2,e2]上单调递增,在区间(1,2)上单调递减.

∴f(x)在[

1
e2
e2]最大值应在x=1和x=e2处取得

f(1)=-

5
2
f(e2)=
e4
2
-3e2+4=
(e2-2)(e2-4)
2
>-
5
2

f(x)max=

(e2-2)(e2-4)
2

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