已知函数f(x)=ln2(1+x)，g(x)=
（Ⅰ）分别求函数f（x）和g（x）的图象在x=0处的切线方程； （Ⅱ）证明不等式ln2(1+x)≤
（Ⅲ）对一个实数集合M，若存在实数s，使得M中任何数都不超过s，则称s是M的一个上界．已知e是无穷数列an=(1+
|
（Ⅰ）f′(x)=
，g′(x)=2ln(1+x) 1+x
，x2+2x (1+x)2
则f'（0）=0，g'（0）=0，且f（0）=0，g（0）=0，
所以函数f（x）和g（x）的图象在x=0处的切线方程都是y=0…（3分）
（Ⅱ）令函数h(x)=ln2(1+x)-
，定义域是（-1，+∞），h′(x)=x2 1+x
-2ln(1+x) 1+x
=x2+2x (1+x)2
，2(1+x)ln(1+x)-x2-2x (1+x)2
设u（x）=2（1+x）ln（1+x）-x2-2x，
则u'（x）=2ln（1+x）-2x，
令v（x）=2ln（1+x）-2x，则v′(x)=
-2=2 1+x
，-2x 1+x
当-1＜x＜0时，v'（x）＞0，v（x）在（-1，0）上为增函数，
当x＞0时，v'（x）＜0，v（x）在（0，+∞）上为减函数．
所以v（x）在x=0处取得极大值，且就是最大值，而v（0）=0，
所以u'（x）≤0，函数u（x）在（-1，+∞）上为减函数…（5分）
于是当-1＜x＜0时，u（x）＞u（0）=0，当x＞0时，u（x）＜u（0）=0，
所以，当-1＜x＜0时，h'（x）＞0，h（x）在（-1，0）上为增函数．
当x＞0时，h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上为减函数．
故h（x）在x=0处取得极大值，且就是最大值，而h（0）=0，
所以h（x）≤0，
即ln2(1+x)-
≤0，ln2(1+x)≤x2 1+x
…（8分）x2 1+x
（Ⅲ）由题意可知不等式 (1+
)n+a≤e对任意的n∈N*都成立，1 n
且不等式(1+
)n+a≤e等价于不等式(n+a)ln(1+1 n
)≤1，1 n
由1+
＞1知，a≤1 n
-n，设F(x)=1 ln(1+
)1 n
-1 ln(1+x)
，x∈(0，1]，1 x
则F′(x)=-
+1 (1+x)ln2(1+x)
=1 x2
…（10分）(1+x)ln2(1+x)-x2 x2(1+x)ln2(1+x)
由（Ⅱ）知，ln2(1+x)≤
，x2 1+x
即（1+x）ln2（1+x）-x2≤0，
所以F'（x）＜0，x∈（0，1]，
于是F（x）在（0，1]上为减函数．
故函数F（x）在（0，1]上的最小值为F(1)=
-1，1 ln2
所以a的最大值为
-1…（13分）1 ln2