| 设函数f（x）=x-（x+1）ln（x+1）（x＞-1）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）试通过研究函数g（x）=
（Ⅲ）证明：当n＞2013，且x1，x2，x3，…，xn均为正实数，x1+x2+x3+…+xn=1 时，(
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（Ⅰ）由f（x）=x-（x+1）ln（x+1）（x＞-1）有f′（x）=-ln（x+1），…（1分）
当-1＜x＜0，即f′（x）＞0时，f（x）单调递增；
当x＞0，即f′（x）＜0时，f（x）单调递减；
所以f（x）的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为（0，+∞）． …（3分）
（Ⅱ）设g（x）=
（x＞0），则g′(x)=ln(1+x) x
，…（5分）x-(1+x)ln(1+x) x2(1+x)
由（Ⅰ）知f（x）=x-（x+1）ln（x+1）在（0，+∞）上是减函数，且f（0）=0，
∴g′（x）＜0在在（0，+∞）恒成立，从而得到函数g（x）在（0，+∞）上是减函数，
又当n＞m＞0时，∴g（n）＜g（m），得
＜ln(1+n) n
，ln(1+m) m
∴mln（n+1）＜nln（m+1），即：（1+n）m＜（1+m）n．…（8分）
（Ⅲ）由x1+x2+x3+…+xn=1，及柯西不等式：
(
+x 21 1+x1
+x 22 1+x2
+…+x 23 1+x3
) （1+n）x 2n 1+xn
≥(
•x 21 1+x1
+1+x1
•x 22 1+x2
+1+x2
•x 23 1+x3
+…+1+x3
•x 2n 1+xn
)221+xn
=（x1+x2+x3+…+xn）2=1，
所以(
+x 21 1+x1
+x 22 1+x2
+…+x 23 1+x3
) ≥x 2n 1+xn
，1 1+n
(
+x 21 1+x1
+x 22 1+x2
+…+x 23 1+x3
)x 2n 1+xn
≥(1 n
)1 1+n
．…（11分）1 n
又n＞2013，由（Ⅱ）可知(1+n)2013 ＜(1+2013)n ，
即(1+n)
＜(1+2013) 1 n
，即(1 2013
)1 1+n
＞(1 n
)1 2014
．1 2013
则(
+x 21 1+x1
+x 22 1+x2
+…+x 23 1+x3
)x 2n 1+xn
≥(1 n
)1 1+n
＞(1 n
)1 2014
．1 2013
故(
+x 21 1+x1
+x 22 1+x2
+…+x 23 1+x3
)x 2n 1+xn
＞(1 n
)1 2014
．…（14分）1 2013
