问题
解答题
四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a.
(1)求该四面体的体积的最大值；
(2)当四面体的体积最大时，求其表面积．
答案
（1）
a3（2）
a2
(1)如图，在四面体ABCD中，设AB＝BC＝CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取AD的中点为P，BC的中点为E，连结BP、EP、CP.得到AD⊥平面BPC，
∴VA－BCD＝VA－BPC＋VD－BPC＝
·S△BPC·AP＋S△BPC·PD＝·S△BPC·AD＝·
·a
≤
·
＝a3(当且仅当x＝
a时取等号)．
∴该四面体的体积的最大值为a3.
(2)由(1)知，△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为a，
∴S表＝2×
a2＋2××a×
＝
a2＋a×
＝a2＋
＝a2.