问题
解答题
已知函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1，常数α为方程f（x）=x的实数根．
（1）求证：当x＞α时，总有x＞f（x）成立；
（2）若函数f（x）的定义域为I，对任意[a，b]⊆I，存在x0∈[a，b]，使等式f（b）-f（a）=（b-a）f′（x0）成立，求证：方程f（x）=x不存在异于α的实数根．
答案
（1）令h（x）=x-f（x），
∵h'（x）=1-f'（x）＞0，
∴h（x）为增函数．
又∵h（α）=α-f（α）=0，
∴当x＞α时，h（x）＞0，即x＞f（x）．
（2）假设方程f（x）=x有异于α的实根β，即f（β）=β，
不妨设β＞α，则β-α=f（β）-f（α），
由题意在α与β之间必存在一点c，α＜c＜β，
使等式β-α=f（β）-f（α）=（β-α）f'（c）成立，
因为α≠β，所以必有f'（c）=1，但这与0＜f'（x）＜1矛盾．
因此，方程f（x）=x不存在异于α的实数根．
