（1）f′(x)=x+

a

x

，g′(x)=a+1，

H(x)=

1

2

x2+alnx-(a+1)x，

∵f（x），g（x）在区间[1，2]上都为单调函数，且它们的单调性相同，

∴f′(x)•g′(x)=

x2+a

x

•(a+1)＞0，

∵x∈[1，2]，∴（a+1）（a+x²）≥0，

-x²≤-1，∴a≤-x²或a＞-1（a≠-1），又（-x²）_min=-4，

∴a≤-4或a＞-1．

（2）∵H′(x)=x+

a

x

-(a+1)=

x2-(a+1)x+a

x

=

(x-1)(x-a)

x

=0⇒x=1或x=a，

又∵x²-（a+1）x+a=0有两个不相等的正根α，β，且α＜β，β∈（1，e]，

∴α=1，β=a∈（1，e]，∴当x∈[α，β]时，H′（x）≤0，

∴H（x）在[α，β]上单调单调递减，

∴H（x）_max=H（1），H（x）_min=H（β），

则对任意的x₁，x₂∈[α，β]，

|H（x₁）-H（x₂）|≤H(1)-H(β)=[

1

2

-(a+1)]-[

1

2

a2+alna-a(a+1) ]

=

1

2

a2-alna-

1

2

．

设f（a）=

1

2

a2-alna-

1

2

，则t′（a）=a-1-lna，

∵当a∈（1，e]时，t″(a)=1-

1

a

＞0，∴t′（a）在（1，e]单调递增，

∴t′（a）＞t′（1）=0，∴t（a）也在（1，e]单调递增，

∴t(a)≤t(e)=

1

2

e2-e-

1

2

 =e(

e

2

-1) -

1

2

＜3(

3

2

-1)-

1

2

=1，

∴不等式|H（x₁）-H（x₂）|＜1对任意的x₁，x₂∈[α，β]成立．