（1）f（x）=（a-1）lnx+ax²，定义域为（0，+∞）．

∵f′(x)=

a-1

x

+2ax=

2ax2+a-1

x

．

当a≥1时，f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调递增；

当a≤0时，f'（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调递减；

当0＜a＜1时，令f'（x）=0，解得x=

1-a 2a

．

则当x∈(0，

1-a 2a

)时，f'（x）＜0；x∈(

1-a 2a

，+∞)时，f'（x）＞0．

故f（x）在(0，

1-a 2a

)单调递减，在(

1-a 2a

，+∞)单调递增．

（2）当a=

1

2

时，f(x)=-

1

2

lnx+

1

2

x2，

由（1）知，x＞

1-a 2a

=

2

2

时，y=f（x）递增，

所以x＞1时，f(x)=-

1

2

lnx+

1

2

x2＞f(1)=

1

2

⇒lnx＜x2-1＜x2

∵x＞1，

∴x²＞lnx＞0，

∴

1

lnx

＞

1

x2

，令x=k，则

1

lnk

＞

1

k2

＞

1

k(k+1)

=

1

k

-

1

k+1

(k≥2)，

∴ 1 ln2 + 1 ln3 + 1 ln4 +…+ 1 lnn ＞( 1 2 - 1 3 )+( 1 3 - 1 4 )+…+( 1 n - 1 n+1 ) = 1 2 - 1 n+1 = n-1 2(n+1) (n≥2，n∈N+)

（3）就是要证lnx≥

1

ex

-

2

ex

，即需证xlnx≥

x

ex

-

2

e

．

令g（x）=xlnx，则由g'（x）=lnx+1=0，得x=

1

e

，

当x＞

1

e

时g（x）递增，当0＜x＜

1

e

时g（x）递减，

所以g（x）的最小值为g(

1

e

)=-

1

e

．

设ϕ(x)=

x

ex

-

2

e

，

当Φ ′(x)=

1-x

ex

=0时，x=1．

当x＞1时g（x）递减；当0＜x＜1时g（x）递增．

所以ϕ（x）的最大值为ϕ(1)=-

1

e

，

因为g（x）的最小值不小于ϕ（x）的最大值，

即xlnx≥

x

ex

-

2

e

，所以xlnx≥

x

ex

-

2

e

．