（1）∵g（x）=

1

x

，

∴g′（x）=-

1

x2

．

∴g′（1）=-1，又g（1）=1，

∴函数g（x）在x=1处的切线方程为y-1=-（x-1），即y=-x+2．

（2）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=

1-(lnx+a)

x2

，令f′（x）=0，得x=e^1-a，

当x∈（0，e^1-a）时，f′（x）＞0，f（x）在∈（0，e^1-a]上是增函数；

当x∈（e^1-a，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在∈[e^1-a，+∞）上是减函数；

∴函数f（x）的单调递增区间为（0，e^1-a]，单调递减区间为[e^1-a，+∞），极大值为f（x）_极大值=f（e^1-a）=e^a-1，无极小值．

（3）令F（x）=f（x）-g（x）=

lnx+a-1

x

，则F′（x）=

-lnx+2-a

x2

．

令F′（x）=0得x=e^2-a；令F′（x）＞0，得0＜x＜e^2-a；令F′（x）＜0，得x＞e^2-a．

故函数F（x）在区间（0，e^2-a]上是增函数，在区间[e^2-a，+∞）上是减函数．

①当e^2-a＜e²，即a＞0时，函数F（x）在区间（0，e^2-a]上是增函数，在区间[e^2-a，e²]上是减函数．

∴F（x）_max=F（e^2-a）=e^a-2，

又F（e^1-a）=0，F（e²）=

a+1

e2

＞0．

∴当0＜x＜e^1-a时，F（x）＜0；

当e^1-a＜x≤e²时，F（x）＞0；

此时函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在区间（0，e²]上有一个公共点．

②当e^2-a≥e²，即a≤0时，函数F（x）在区间（0，e²]上是增函数，F（x）_max=F（e²）=

a+1

e2

．

若F（x）_max=F（e²）=

a+1

e2

≥0，即-1≤a≤0时，e^1-a≤e²，

∵F（e^1-a）=0，所以函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在区间（0，e²]上有一个公共点；

若F（x）_max=F（e²）=

a+1

e2

＜0，即a＜-1时，函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在区间（0，e²]上没有公共点．

综上，实数a的取值范围是[-1，+∞）．