问题
解答题
已知函数f(x)=x2-(1+2a)x+alnx(a为常数).
(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在x=1处切线的方程;
(2)当a>0时,讨论函数y=f(x)在区间(0,1)上的单调性,并写出相应的单调区间.
答案
(1)当a=-1时,f(x)=x2+x-lnx,则f′(x)=2x+1-1 x
∴f(1)=2,f′(1)=2
∴曲线y=f(x)在x=1处切线的方程为y-2=2(x-1)
即y=2x;
(2)由题意得,f′(x)=2x-(1+2a)+
=a x
(x>0)(2x-1)(x-a) x
由f′(x)=0,得x1=
,x2=a1 2
①当0<a<
时,令f′(x)>0,x>0,可得0<x<a或1 2
<x<1;1 2
令f′(x)<0,x>0,可得a<x<1 2
∴函数f(x)的单调增区间是(0,a)和(
,1),单调减区间是(a,1 2
);1 2
②当a=
时,f′(x)= 1 2
≥0,当且仅当x=(2x-1)2 2x
时,f′(x)=0,1 2
所以函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数;
③当
<a< 1时,令f′(x)>0,x>0,可得0<x<a或a<x<1;1 2
令f′(x)<0,x>0,可得
<x<a1 2
∴函数f(x)的单调增区间是(0,
)和(a,1),单调减区间是(1 2
,a);1 2
④当a≥1时,令f′(x)>0,x>0,可得0<x<
;1 2
令f′(x)<0,x>0,可得
<x<11 2
∴函数f(x)的单调增区间是(0,
),单调减区间是(1 2
,1).1 2