问题 解答题

已知函数f(x)=x2-(1+2a)x+alnx(a为常数).

(1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在x=1处切线的方程;

(2)当a>0时,讨论函数y=f(x)在区间(0,1)上的单调性,并写出相应的单调区间.

答案

(1)当a=-1时,f(x)=x2+x-lnx,则f′(x)=2x+1-

1
x

∴f(1)=2,f′(1)=2

∴曲线y=f(x)在x=1处切线的方程为y-2=2(x-1)

即y=2x;

(2)由题意得,f′(x)=2x-(1+2a)+

a
x
=
(2x-1)(x-a)
x
(x>0)

由f′(x)=0,得x1=

1
2
x2=a

①当0<a<

1
2
时,令f′(x)>0,x>0,可得0<x<a或
1
2
<x<1

令f′(x)<0,x>0,可得a<x<

1
2

∴函数f(x)的单调增区间是(0,a)和(

1
2
,1),单调减区间是(a,
1
2
)

②当a=

1
2
时,f′(x)= 
(2x-1)2
2x
≥0
,当且仅当x=
1
2
时,f′(x)=0,

所以函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数;

③当

1
2
<a< 1时,令f′(x)>0,x>0,可得0<x<a或a<x<1;

令f′(x)<0,x>0,可得

1
2
<x<a

∴函数f(x)的单调增区间是(0,

1
2
)和(a,1),单调减区间是(
1
2
,a)

④当a≥1时,令f′(x)>0,x>0,可得0<x<

1
2

令f′(x)<0,x>0,可得

1
2
<x<1

∴函数f(x)的单调增区间是(0,

1
2
),单调减区间是(
1
2
,1)

单项选择题
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