问题
解答题
定义在(0,+∞)上的函数f(x)=x2-alnx,g(x)=x-a
(Ⅰ)确定函数g(x)的单调性. (Ⅱ)证明:当1<x<e2时,恒有x<
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答案
(Ⅰ)函数f(x)=x2-alnx,则f′(x)=2x-
,a x
∵f(x)在x=1处取极值
∴f′(1)=0
∴2-a=0
∴a=2.…(3分)
∴g(x)=x-2
,∴g′(x)=1-x
.1 x
由g′(x)=1-
>0,可得x>1,由g′(x)=1-1 x
<0,可得0x<1,…(…(5分)1 x
所以g(x)在(1,+∞)上是增函数,在(0,1)上是减函数.…(6分)
(Ⅱ)证明:当1<x<e2时,0<lnx<2,要证x<
等价于x(2-lnx)<2+lnx,即lnx>2+lnx 2-lnx 2(x-1) 1+x
设h(x)=lnx-
,则h′(x)=2(x-1) 1+x
-1 2
=2(x+1)-2(x-1) (x+1)2
.…(10分)(x-1)2 x(x+1)2
∴当1<x<e2时,h′(x)>0,
所以h(x)在区间(1,e2)上为增函数.…(12分)
从而当1<x<e2时,h(x)>h(1)=0,即lnx>
,故x<2(x-1) 1+x
…(14分).2+lnx 2-lnx