问题 解答题
定义在(0,+∞)上的函数f(x)=x2-alnx,g(x)=x-a
x
,且f(x)在x=1处取极值.
(Ⅰ)确定函数g(x)的单调性.
(Ⅱ)证明:当1<x<e2时,恒有x<
2+lnx
2-lnx
成立.
答案

(Ⅰ)函数f(x)=x2-alnx,则f′(x)=2x-

a
x

∵f(x)在x=1处取极值

∴f′(1)=0

∴2-a=0

∴a=2.…(3分)

∴g(x)=x-2

x
,∴g′(x)=1-
1
x

g′(x)=1-

1
x
>0,可得x>1,由g′(x)=1-
1
x
<0
,可得0x<1,…(…(5分)

所以g(x)在(1,+∞)上是增函数,在(0,1)上是减函数.…(6分)

(Ⅱ)证明:当1<x<e2时,0<lnx<2,要证x<

2+lnx
2-lnx
等价于x(2-lnx)<2+lnx,即lnx>
2(x-1)
1+x

设h(x)=lnx-

2(x-1)
1+x
,则h′(x)=
1
2
-
2(x+1)-2(x-1)
(x+1)2
=
(x-1)2
x(x+1)2
.…(10分)

∴当1<x<e2时,h′(x)>0,

所以h(x)在区间(1,e2)上为增函数.…(12分)

从而当1<x<e2时,h(x)>h(1)=0,即lnx>

2(x-1)
1+x
,故x<
2+lnx
2-lnx
 …(14分).

单项选择题
多项选择题