问题
解答题
已知函数f（x）=ax-2lnx-
（I）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求实数a的取值范围； （Ⅱ）设g（x）=
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答案
（I）函数的定义域为（0，+∞），f′(x)=ax2-2x+a x2
①若f′（x）≥0，则ax2-2x+a≥0在（0，+∞）上恒成立，即a≥
=2x x2+2
在（0，+∞）上恒成立，∵2 x+ 1 x
≤1，∴a≥1，此时函数在（0，+∞）上单调递增；2 x+ 1 x
②若f′（x）≤0，则ax2-2x+a≤0在（0，+∞）上恒成立，即a＜
=2x x2+2
在（0，+∞）上恒成立，∵2 x+ 1 x
＞0，∴a≤0，此时函数在（0，+∞）上单调递减；2 x+ 1 x
综上，a≥1或a≤0；
（II）g（x）=
在[1，e]上是减函数，且g（x）∈[2，2e]．2e x
①a≤0时，函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时f（x）max=f（1）=0，不合题意；
②a≥1时，函数f（x）在[1，e]上是增函数，由题意，f（e）＞g（e）
∴a(e-
)-2＞21 e
∴a＞
；4e e2-1
②当0＜a＜1时，∵x-
≥0∴f（x）=ax-2lnx-1 x
≤x-a x
-2lnx≤e-1 x
-2＜2，不合题意1 e
综上，a＞
．4e e2-1