问题
解答题
| 设函数f（x）=（ax-1）ex+2x+1，已知f（x）在x=0处取得极值． （I）求a的值； （II）证明：当x≥0时，
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答案
（I）f（x）=（ax-1）ex+2x+1，
∴f′（x）=（ax+a-1）ex+2，
∵f（x）在x=0处取得极值，
∴f′（0）=a-1+2=0，
解得a=-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=-1，
∴f（x）=-（x+1）ex+2x+1，
∵x≥0，
∴欲证
≤--(x+1)ex+2x ex
，只需证ex≥x+1．x2+1 x+1
令g（x）=ex-x-1，
则g′（x）=ex-1，
令g′（x）=0，解得x=0．
当x∈（0，+∞）时，g′（x）=ex-1，
令g′（x）=0，解得x=0．
当x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，此时g（x）单调递增，
因此g（x）min=g（0）=0，即g（0）≥0，
从而ex≥x+1，
∴当x≥0时，f（x）≤ex（x+1）成立．
故当x≥0时，
≤-f(x)-1 ex
．x2+1 x+1