（I）f'（x）=x²+2x+a．

因f（x）在x=2取得极值，所以f'（2）=4+4+a=0．解得a=-8．

经检验知当a=-9时，x=2为f（x）为极值点．

（II）∵f'（x）=x²+2x+a，

由已知得x²+2x+a≤0在[-2，1]上恒成立，

∴a≤-x²-2x在[-2，1]上恒成立．

∴a≤-1²-2×1=-3．

故a≤-3．

（III）当a＞1时，f'（x）=x²+2x+a＞0恒成立，

∴函数f(x)=

1

3

x3+x2+ax+b在R上是增函数，

由于

t+1

2

≥t

1

2

，

①当m＞1时，

1

2

logmt≤logm

t+1

2

，∴f(

1

2

logmt)≤f(logm

t+1

2

)；

②当0＜m＜1时，

1

2

logmt≥logm

t+1

2

，

∴f(

1

2

logmt)≥f(logm

t+1

2

)．